Конституционный Суд Российской Федерации - судебный орган конституционного контроля, самостоятельно и независимо осуществляющий судебную власть посредством конституционного судопроизводства (ст.1 Закона "О Конституционном Суде Российской Федерации").

Конституционный Суд РФ (ст.3 Закона "О Конституционном Суде Российской Федерации"):

• разрешает дела о соответствии Конституции
• всех законов и иных нормативных актов, принятых или изданных на территории РФ;
• договоров между органами государственной власти как РФ, так и субъектов Федерации;
• не вступивших в силу международных договоров РФ;
• разрешает споры о компетенции между органами государственной власти как РФ, так и субъектов Федерации;
• по жалобам на нарушение конституционных прав и свобод граждан и по запросам судов проверяет конституционность закона, примененного или подлежащего применению в конкретном деле;
• дает толкование Конституции РФ;
• дает заключение о соблюдении установленного порядка выдвижения обвинения Президента РФ в государственной измене или совершении иного тяжкого преступления;
• и др.

Конституционный Суд РФ решает исключительно вопросы права.
Акты или их отдельные положения, признанные неконституционными, утрачивают силу.

Например, Конституционный Суд признал незаконной систему регистрации (прописки) в Москве, введенную по решении мэрии Москвы, поскольку Конституцией закреплено право граждан на свободное проживание и перемещение по всей территории РФ.

Да, может. Но только в том случае, если гражданин считает, что конкретный закон (или иной нормативный акт) нарушает его конституционные права и свободы.
Если же нарушение прав и свобод гражданина связано с неправильным применением или нарушением этого закона, а не с неконституционностью самого этого закона, то такая ситуация рассматривается не Конституционным Судом, а судами общей юрисдикции.

Например, Постановление Конституционного Суда РФ "По делу о проверке конституционности частей первой и второй статьи 54 Жилищного кодекса РСФСР в связи с жалобой гражданки Л.Н. Ситаловой" - признало по жалобе гражданки неконституционными первую и вторую части статьи 54 Жилищного кодекса РСФСР.

Основания и порядок обращения граждан в Конституционный Суд устанавливаются в ст.36-39 Закона "О Конституционном Суде Российской Федерации".